教师惩戒权的性质是公，这是因为：
1. 教师惩戒权是基于法律授权的，是教育行政部门授权给教师的一项，教师在行使惩戒权时必须遵守法律法规。
2. 教师惩戒权是服务于公共利益的，其目的是维护学校纪律，保障教育教学秩序，促进学生全面发展。
3. 教师惩戒权是受到监督的，教育行政部门对教师惩戒权的行使进行监督和管理，确保其合法、公正、适度。
4. 教师惩戒权是有的，教师在行使惩戒权时必须遵循法律法规和门的规定，不能侵犯学生的合法权益，不能采取过度惩戒等不当行为。
教师惩戒权的性质是公，其行使必须遵守法律法规、服务于公共利益、受到监督、有。教育行政部门应加强对教师惩戒权的管理和指导，确保其合法、公正、适度。